Formas de la ecuación de la recta

Geometría Analítica

1. Forma punto-pendiente

Esta forma se utiliza cuando conocemos un punto de la recta \(P(x_1,y_1)\) y su pendiente \(m\).

\(y-y_1=m(x-x_1)\)

¿Qué representa cada elemento?

  • \(m\): pendiente de la recta.
  • \((x_1,y_1)\): punto conocido de la recta.
  • \((x,y)\): cualquier punto de la recta.
Ejemplo

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por \(P(2,3)\) y tiene pendiente \(m=4\).

Sustituyendo:

\(y-3=4(x-2)\)

2. Forma pendiente-ordenada al origen

Esta forma permite identificar de manera inmediata la pendiente y la intersección de la recta con el eje \(Y\).

\(y=mx+b\)

Elementos

  • \(m\): pendiente de la recta.
  • \(b\): ordenada al origen.
  • La recta corta al eje \(Y\) en el punto \((0,b)\).
Ejemplo
\(y=3x-2\)

La pendiente es \(m=3\) y la ordenada al origen es \(b=-2\). Por lo tanto, la recta pasa por \((0,-2)\).

3. Ecuación de la recta dados dos puntos

Si conocemos dos puntos distintos \(P_1(x_1,y_1)\) y \(P_2(x_2,y_2)\), primero calculamos la pendiente.

\(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

Después utilizamos uno de los puntos en la forma punto-pendiente:

\(y-y_1=m(x-x_1)\)
Ejemplo

Sean \(P_1(1,2)\) y \(P_2(4,8)\).

\(m=\dfrac{8-2}{4-1}=\dfrac{6}{3}=2\)

Utilizando \(P_1(1,2)\):

\(y-2=2(x-1)\)

Si \(x_1=x_2\), la pendiente no está definida y la recta es vertical: \(x=x_1\).

4. Forma simétrica o de intersecciones

Se utiliza cuando conocemos los puntos donde la recta corta los ejes coordenados.

\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)

Interpretación

  • \(a\): intersección con el eje \(X\), es decir, \((a,0)\).
  • \(b\): intersección con el eje \(Y\), es decir, \((0,b)\).
Ejemplo

Si una recta corta al eje \(X\) en \(4\) y al eje \(Y\) en \(6\):

\(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{6}=1\)

5. Forma general de la recta

La ecuación general de una recta se expresa como:

\(Ax+By+C=0\)

donde \(A\), \(B\) y \(C\) son constantes, y \(A\) y \(B\) no pueden ser simultáneamente cero.

Pendiente a partir de la forma general

Si \(B\neq 0\), la pendiente puede obtenerse mediante:

\(m=-\dfrac{A}{B}\)
Ejemplo
\(2x+3y-12=0\)

En esta ecuación \(A=2\), \(B=3\) y \(C=-12\). Por tanto:

\(m=-\dfrac{2}{3}\)